Matematika kis érettségi szóbeli tételek

Hargitai Ferenc

2006.

Kattints a tételek sorszámaira, a gyorsabb elérés érdekében!

A-tételek

B-tételek

     1.

Számhalmazok, műveletek halmazokkal

     1.

Műveletek sorrendje

     2.

Oszthatósági szabályok, LNKO, LKKT

     2.

Pitagorasz tétele és bizonyítása

     3. Nevezetes azonosságok      3.

Thalész tétele és bizonyítása

     4. Algebrai kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek      4.

A háromszög beírt köre

     5. Arány, arányosság, százalékszámítás      5.

A háromszög körülírt köre

     6.

Függvény fogalma, lineáris függvények

     6.

A háromszög magasságpontja

     7. Az abszolútérték függvény és transzformációi      7.

Háromszögek fajtái; A háromszög súlyvonalai és középvonalai

     8. A másodfokú függvény és transzformációi      8.

Összefüggések a háromszög szögei, oldalai valamint szögei és oldalai között

     9. A négyzetgyök függvény és transzformációi      9.

Tengelyes tükrözés

   10.

A téglatest és a kocka

   10.

Középpontos tükrözés

   11. A hasáb és a henger    11.

Pont körüli elforgatás

   12. A gúla és a kúp    12.

Eltolás

   13. A gömb    13.

Középpontos hasonlóság

   14.

A kör és részei

   14.

Szabályos sokszögek, átlók száma, belső szögei; Szabályos testek

   15. Négyszögek    15.

Sorozatok

 

1.A

Számhalmazok, műveletek halmazokkal

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            A tárgyak megszámlálásának szükségszerűsége hozta a természetes számok kialakulását. A 0 és a pozitív egész számok alkotják a természetes számok halmazát. Jele: N. A kettővel maradék nélkül osztható természetes számokat – a 0 kivételével – páros számoknak, a többit páratlan számoknak nevezzük. A természetes számok halmazán értelmezhető műveletek (azaz kiindulási számaik és végeredményük is természetes szám): az összeadás, a szorzás és a hatványozás. A kivonás nem mindig végezhető el e számhalmazon. Ha egy kisebb term. számból egy nagyobbat vonunk ki, akkor az eredmény nem lesz term. szám. Ahhoz, hogy elvégezhetővé váljék, a természetes számokhoz hozzá kell kapcsolnunk az ellentettjeiket, vagyis a negatív egész számokat. Az így kapott számhalmazt az egész számok halmazának nevezzük. Jele: Z. az egész számok halmazán az összeadás, a kivonás és a szorzás mellett elvégezhető a maradékos osztás is:

                                               a = b*q + r , ahol r az osztás maradéka.

 

            Az osztás mint művelet csak akkor végezhető el, ha az osztandó többszöröse az osztónak. Az osztás tehát kivezet az egész számok halmazából.

            Bármely két egész szám hányadosát (osztó ≠ 0) racionális számnak nevezzük. Így a racionális számok halmazába tartoznak az egész számok, a törtek, a véges tizedestörtek és a végtelen szakaszos tizedestörtek. A racionális számok halmazának jele: Q. Minden racionális számnak egyértelműen meghatározható helye van a számegyenesen.

            A négyzetgyökvonás kivezet a racionális számok halmazából, hiszen nem minden racionális számnak van racionális négyzetgyöke. A nem racionális számokat irracionális számoknak nevezzük. Az irracionális számok végtelen szakasz nélküli tizedestörtek. A racionális és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát, melynek jele: R.

 

2.A

Oszthatósági szabályok. Számelmélet alaptétele. LNKO, LKKT

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            Az oszthatóság kérdéseit a természetes számok halmazán vizsgáljuk. Akkor mondjuk, hogy egy term. szám osztható egy másik term. számmal, ha többszöröse a másik számnak, azaz a másik szám „megvan” benne maradék nélkül.

Azok a számok oszthatók
2-vel, amelyek párosak;
3-mal, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal;
4-gyel, amelyek utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám osztható 4-gyel;
5-tel, amelyek 0-ra vagy 5-re végződnek;
6-tal, amelyek oszthatók 2-vel is és 3-mal is;
7-tel, amelyek a 7-nek többszörösei (nincs rá szabály);
8-cal, amelyek utolsó három számjegyéből álló háromjegyű szám osztható 8-cal;
9-cel, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel;
10n-nel,amelyek n darab 0-ra végződnek;
11-gyel, amelyek számjegyeit sorban váltakozó előjellel összeadva 11-gyel osztható számot kapunk;
25-tel, amelyek 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződnek.

 

Bármely 1-nél nagyobb természetes szám – a sorrendtől eltekintve – egyértelműen írható fel véges sok prímszám szorzataként. Ez a számelmélet alaptétele. Minden természetes szám osztható 1-gyel és önmagával, tehát minden term. számnak legalább két osztója van. Azokat a számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyeknek legalább három osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. Azokat az összetett számokat, amelyeknek páratlan számú osztójuk van, négyzetszámoknak nevezzük. A prímszámok kiválasztásának az ókorból ismert módszere az ú.n. „Eratoszthenész-i szita”.
            Az összetett számok mindig felírhatók legalább két prímszám szorzataként. Ezt a felírási módot a számok prímtényezős bontásának nevezzük.
            Két szám legnagyobb közös osztját úgy határozhatjuk meg, hogy a számok prímtényezős bontása után az összes közös prímtényező legkisebb szereplő hatványainak szorzatát számítjuk.
            két szám legkisebb közös többszörösét úgy határozhatjuk meg, hogy a számok prímtényezős bontása után az összes szereplő prímtényező legmagasabb előforduló hatványánák szorzatát számítjuk.

 

3.A

Nevezetes azonosságok

TÉTEL LETÖLTÉSE

  1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2





    0




     
  2.  (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

Szövegdoboz: T = a2  és  T = b2 + 2b(a – b) + (a – b)2
                  ß
               a2 = b2 + 2b(a – b) + (a – b)2  
                a2 = b2 + 2ab – 2b2 + (a – b)2
                a2 = 2ab – b2 + (a – b)2   / + b2
         a2 + b2 = 2ab + (a – b)2         / - 2ab
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
 

 

 

 

 

 

 

 

3.    (a + b)(a – b) = a2 – b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.A

Algebrai kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek

 TÉTEL LETÖLTÉSE

Együttható és változó szorzatát algebrai kifejezésnek nevezzük. Egyneműnek nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek legfeljebb együtthatóikban különböznek. Különneműnek nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyek változóikban vagy azok hatványaiban különböznek. Összevonni csak egynemű kifejezéseket szabad.

Azokat a kijelentéseket, amelyek igaz vagy hamis voltát nem tudjuk megállapítani, nyitott mondatoknak nevezzük. Tudnunk kell, hogy a nyitott mondat megoldásai mely elemek közül kerülhetnek ki. Ezeknek az elemeknek a halmazát alaphalmaznak nevezzük. Az alaphalmaz azon elemei alkotják az igazsághalmazt, amelyek a nyitott mondatot igazzá teszik. Ha a nyitott mondatban szereplő relációs jel egyenlőség, akkor a nyitott mondat neve egyenlet. Ha a nyitott mondatban szereplő relációs jel < , > , ≤ vagy ≥ , akkor a nyitott mondat neve egyenlőtlenség. Ha egy nyitott mondat megoldása során igaz állításhoz jutunk, akkor a nyitott mondat neve egyenlet esetén azonosság, egyenlőtlenség esetén azonos egyenlőtlenség. Ebben az esetben a nyitott mondat igazsághalmaza megegyezik az alaphalmazzal. Ha a nyitott mondat megoldása során hamis állításhoz jutunk, akkor a nyitott mondatnak nincs megoldása.

 

5.A

Arány, arányosságok; százalékszámítás

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            Két szám hányadosát másképpen aránynak nevezzük. A 0:0 arányt nem értelmezzük. Két hányados egyenlőségét aránypárnak nevezzük. Az aránypárban a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával. Szám vagy mennyiség arányos osztását úgy végezhetjük el, hogy a számot vagy mennyiséget osztjuk az arányban szereplő számok összegével, majd a kapott hányadost külön-külön megszorozzuk az aránybeli számokkal. Szakasz arányos részekre osztása szerkesztési feladat, amelynek megoldása a háromszögek hasonlóságán alapul.

            Két változó mennyiség egyenesen arányos, ha az egyik mennyiség valahányszoros változása a másik mennyiség ugyanannyiszoros változásával jár. Ha két változó mennyiség egyenesen arányos, akkor összetartozó értékpárjaik aránya állandó.

            Két változó mennyiség fordítottan arányos, ha az egyik mennyiség valahányszoros változása a másik mennyiség reciprokszoros változásával jár. Fordítottan arányos mennyiségek összetartozó értékeinek szorzata állandó.

            Egy szám vagy mennyiség századrészeinek jelölésére használjuk a százalék fogalmat. A százalék a századrészek számát jelenti. A százaléklszámításban használjuk az alap, a százalékláb és a százalékérték kifejezéseket. Közülük bármely két adat ismeretében számítható a harmadik. Jelölések: a = alap; szé = százalékérték; p = százalékláb

Érvényesek a következő összefüggések:

            a = szé : ( p / 100 )

            szé = a * p / 100

            p = szé / a * 100

 

6.A

Függvények, lineáris függvény

 

TÉTEL LETÖLTÉSE 

            A matematikában a halmaz fogalmát nem definiáljuk, alapfogalomként fogadjuk el. Rajta valamely dolgok összességét, együttesét értjük. Hasonlóan alapfogalom az elem. A halmazokat valamilyen tulajdonság szerint kiválasztott elemek alkotják. Halmazok között vizsgálhatunk különböző kapcsolatokat, ú.n. relációkat. A relációk alapján egy halmaz elemeihez hozzárendelhetünk elemeket egy másik halmazból. Ebben az esetben a kiindulási halmazt alaphalmaznak, a másikat képhalmaznak nevezzük. Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz bármelyik eleméhez a képhalmaznak legfeljebb egy elemét rendeljük hozzá.

            Függvénynek nevezzük azt az egyértelmű hozzárendelést, amelynek ismerjük értelmezési tartományát, értékkészletét és a hozzárendelés szabályát. Értelmezési tartománynak nevezzük az alaphalmaznak azt a részét, amelynek elemeihez rendeltünk elemeket a képhalmazból. Értékkészletnek nevezzük a képhalmaznak azt a részét, amelyben a hozzárendelt elemek találhatók. A szám-szám függvények alap –és képhalmaza is számhalmaz. A szám-szám függvények összetartozó értékpárjait derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Az értelmezési tartomány számait a vízszintes(x) tengelyen keressük, míg az értékkészlet elemeit a függőleges(y) tengelyen.

            Az x         ax + b alakú hozzárendeléseket lineáris függvénynek nevezzük, ahol „a” és „b” racionális számok. Az „a” szám a függvény meredeksége, a „b” szám pedig a függvény y tengelyen vett metszéspontját mutatja. Ha az „a” 0-tól különböző racionális szám, akkor elsőfokú lineáris függvényről beszélünk. Ha a = 0, akkor a függvény nulladfokú. A lineáris függvények grafikonja egyenes. Az elsőfokú lineáris függvények grafikonjának az y tengellyel bezárt szöge 0 foknál nagyobb és 90 foknál kisebb. A nulladfokú lineáris függvények grafikonja az y tengelyre merőleges.

 

7.A

Az abszolútérték függvény és transzformációi

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            A számok 0-tól való távolságát a számok abszolútértékének nevezzük. Az abszolútérték tehát nem lehet negatív szám: pozitív számok és a 0 abszolútértéke önmaga, negatív számok abszolútértéke az ellentettjükkel egyenlő.

            Az x →  a│x + b│+ c hozzárendelést abszolútérték függvénynek nevezzük. A függvény grafikonja „V” alakú.

Jellemzése:

 

Ábrázolj és jellemezz egy adott abszolútérték függvényt!

8.A

A másodfokú függvény és transzformációi

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            Egy valós szám négyzetén értjük azt a nemnegatív számot, amelyet úgy kapunk, hogy a valós számot önmagával megszorozzuk. Az x → a(x + b)2 + c alakú hozzárendelést másodfokú függvénynek nevezzük (a,b,c Є Q). A másodfokú függvény grafikonja parabola.

Jellemzése:

 

Ábrázolj és jellemezz egy adott másodfokú függvényt!

9.A

A négyzetgyök függvény és transzformációi

 

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            Egy nemnegatív szám négyzetgyökén értjük azt a nemnegatív számot, melynek négyzete az eredeti szám. A 0 négyzetgyöke tehát önmaga. A pozitív számok négyzetgyöke nem mindig racionális szám. (Pl. a 2 négyzetgyöke irracionális.) a négyzetgyökvonásra érvényesek a következő azonosságok:

Szövegdoboz: *
Szövegdoboz: =
Szövegdoboz: =
Szövegdoboz: =   |a|
Szövegdoboz: (   b  )2
Szövegdoboz: = a
Szövegdoboz: :
Szövegdoboz: =

  

 

 

 

 

 

 
 

Ábrázold és jellemezd a megadott négyzetgyök függvényt!

 

10.A

A téglatest és a kocka

 TÉTEL LETÖLTÉSE

 

A poliéder véges számú sokszöglappal határolt test. Tehát a téglatest és a kocka poliéderek.

 

A téglatest jellemzése:

 

A kocka jellemzése:

11.A

A hasáb és a henger

 TÉTEL LETÖLTÉSE

Hasáb: Legyen adott a síkon egy sokszög. Kerületi pontjain át húzzunk olyan egymással párhuzamos egyeneseket, amelyek 00-nál nagyobb szöget zárnak be a sokszög síkjával. A párhuzamos egyenesek által határolt térrészt végtelenbe nyúló hasábtestnek nevezzük. Ha az egyeneseket elmetszük egy a sokszögével párhuzamos síkkal, akkor egy véges testet, hasábot kapunk. Ha a párhuzamos egyenesek a sokszög síkjára merőlegesek, akkor egyenes hasábról beszélünk. Az egyenes hasáboknak tehát két egymással párhuzamos, egybevágó és egyállású sokszög a két alaplapja. A rájuk merőleges oldallapok összességét palástnak nevezzük. Az egyenes hasáb palástját annyi téglalap alkotja, ahány oldalú sokszög az alaplap. Az egyenes hasáb oldalélei megegyeznek a hasáb magasságával.

Felszíne: A = 2Ta + Tp 

Térfogata: V = Ta*M

 

 

Henger: Legyen adott egy zárt, nem önátmetsző görbevonal a síkon. Ha a vonal pontjain át párhuzamos egyeneseket húzunk, amelyek síkkal bezárt szöge nagyobb 00-nál, akkor az egyenesek által határolt térrész egy végtelenbe nyúló hengerszerű test. Ha az egyeneseket elmetszük egy a görbevonal síkjával párhuzamos síkkal, akkor egy véges test, henger keletkezik. Ha a síkon elhelyezkedő görbevonal körvonal, akkor körhengerről beszélünk. Ha a párhuzamos egyenesek merőlegesek a körvonal síkjára, akkor a test neve egyenes körhenger. Az egyenes körhengert tehát két párhuzamos és egybevágó körlap határolja, valamint egy görbefelület, amelynek palást a neve. A henger palástja síkra terítve egy téglalap, amelynek egyik oldala az alapkör kerületével, másik oldala a henger magasságával egyenlő.

Felszíne: A = 2r2π + 2rπM = 2rπ (r + M)

Térfogata: V = r2πM

 

Az egyenes körhenger forgástest: ha egy téglalapot megforgatunk bármelyik szimmetriatengelye körül, akkor egyenes körhengert kapunk.

 

12.A

A gúla és a kúp

 TÉTEL LETÖLTÉSE

Gúla: Legyen adott egy sokszög és a sokszög síkján kívül egy pont. Ha a pontot összekötjük a sokszög kerületi pontjaival, akkor egy véges, zárt térrészt, gúlát kapunk. A sokszög a gúla alaplapja. Az adott pont és a sokszög síkjának távolsága a gúla magassága. Az adott pontot a sokszög csúcsaival összekötő szakaszokat a gúla oldaléleinek nevezzük. Ha a gúla oldalélei egyenlő hosszúságúak, akkor szabályos gúláról beszélün. A szabályos gúla palást ját egybevágó háromszöglapok alkotják. Az adott sokszög a gúla alaplapja.

Felszíne: A = Ta + Tp

Térfogata: V = Ta*M/3

 

 

Kúp: Legyen adott egy zárt, nem önátmetsző görbevonal a síkon és a síkon kívül egy pont. Ha az adott pontot összekötjük a görbevonal pontjaival, akkor egy véges térrész, kúp keletkezik. Az adott sokszög a kúp alaplapja. Az adott pontot és a görbevonal pontjait összekötő szakaszok(alkotók) összessége a kúp palástja. Ha a kiindulási görbevonal kör és az alkotók egyenlő hosszúságú szakaszok, akkor egyenes körkúpról beszélünk. Az egyenes körkúp palástja síkra terítve egy körcikk, amelynek sugara a kúp alkotójával egyezik meg.

Felszíne: A = r2π + rπa = rπ (r + a)

Térfogata: V = r2π*M/3

 

Az egyenes körkúp forgástest: ha egy derékszügű háromszöget megforgatunk az egyik befogója körül, vagy egy szimmetrikus háromszöget megforgatunk a szimmetriatengelye körül, akkor egyenes körkúpot kapunk.

13.A

A gömb

 TÉTEL LETÖLTÉSE

Ha gömbről beszélünk két dolog kell, hogy eszünkbe jusson: gömbfelület és gömbtest. A gömbfelület azoknak a térbeli pontoknak a halmaza, amelyek a tér egy adott pontjától ugyanakkora (nem 0) távolságra vannak. A gömbtest azoknak a térbeli pontoknak a halmaza, amelyek távolsága a tér egy adott pontjától egy adottnál nem nagyobb. A gömb középpontját a gömbfelülettel összekötő szakasz a gömb sugara ( r ). Gömb és sík egymáshoz viszonyítva háromféleképpen helyezkedhet el a térben: a) nincs közös pontjuk; b) egy közös pontjuk van, ekkor a sík érinti a gömböt; c) végtelen sok közös pontjuk van, ekkor a sík szelő síkja a gömbnek. A gömbtest bármely síkmetszete körlap. A gömb középpontjára illeszkedő síkmetszeteket a gömb főköreinek nevezzük. A gömb forgástest: ha egy körlapot megforgatunk bármelyik átmérője körül, akkor gömbtestet kapunk. A gömb felülete síkra nem teríthető ki, így felszínének meghatározása sem ilyen módon történik. A gömb felszíne négy főkörének területével egyenlő.

Felszíne: A = 4r2π

Térfogata: V = 4r3π/3

14.A

A kör és részei

 

 TÉTEL LETÖLTÉSE

Ha körről beszélünk két dolog kell, hogy eszünkbe jusson: körvonal és körlap. A körvonal azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek a sík egy adott pontjától ugyanakkora (nem 0) távolságra vannak. A körlap azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyek távolsága a sík egy adott pontjától egy adottnál nem nagyobb. Az adott pontot a kör középpontjának nevezzük. A középpont és a körvonal bármely pontját összekötő szakasz neve sugár ( r ). Kör és egyenes a síkon háromféleképpen helyezkedhet el egymáshoz viszonyítva: a) nincs közös pontjuk; b) egy közös pontjuk van, ekkor az egyenes a kör érintője; c) az egyenesnek a körvonallal két, a körlappal végtelen sok közös pontja van, ekkor az egyenes a kör szelője. A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. A szelő körrel közös része egy szakasz, melynek húr a neve. Ha a szelő a kör középpontjára illeszkedik, akkor a kör leghosszabb húrját kapjuk, amelynek átmérő a neve (d). a kör átmérője kétszerese a sugárnak. A szelő a körlapot két körszeletre osztja. A körbe húzott két sugár a körlapot két körcikkre osztja. A kör kerülete tulajdonképpen a körvonal hossza. A kör kerülete egyenesen arányos a kör sugarával, a kör területe pedig a sugár négyzetével.

Kerülete: K = 2rπ

Területe: T = r2π

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.A

Négyszögek

 TÉTEL LETÖLTÉSE

A sokszög zárt, nem önátmetsző töröttvonallal határolt összefüggő síktartomány. Ha a sokszögvonal négy szakaszból áll, akkor a sokszög neve négyszög. A négyszögeknek négy csúcsa és négy oldala van. Belső szögeik összege 3600. Ha egy négyszög csúcsaira közös körvonal illeszthető, akkor a négyszög húrnégyszög. Ha a négyszögnek létezik beírt köre, akkor a négyszög érintőnégyszög. A következő négyszögekkel részletesebben is foglalkoztunk.

Trapéz: Olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Párhuzamos oldalait alapoknak, másik két oldalát száraknak nevezzük. Fajtái: általános trapéz, derékszögű trapéz, húrtrapéz. A húrtrapézt szokás egyenlő szárú vagy szimmetrikus trapéznak is nevezni.

K = a + b + c + d        T = ( a + c )/2*m

Paralelogramma: Olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak. Középpontosan szimmetrikus, szimmetriaközéppontja az átlók metszéspontja. Az átlók négy egyenlő területű háromszögre bontják, amelyekből a szemköztiek egybevágóak.

K = ( a + b )*2            T = a*ma = b*mb

Rombusz: egyenlő oldalú paralelogramma. Tengelyesen is szimmetrikus, szimmetriatengelyei az átlókra illeszkednek. Érintőnégyszög.

K = 4a             T = a*m = e*f /2

Téglalap: egyenlő szögű paralelogramma. Tengelyesen is szimmetrikus, szimmetriatengelyei az oldalfelező merőlegesek. Húrnégyszög.

K = ( a + b )*2            T = a*b

Négyzet: szabályos négyszög, egyenlő oldalú és szögű paralelogramma. Négy szimmetriatengelye van, amelyek az oldalfelező merőlegesekre és az átlókra illeszkednek.

Húrnégyszög is és érintőnégyszög is.

K = 4a             T = a2

Deltoid: olyan négyszög, amelynek van szimmetriaátlója. Tengelyesen szimmetrikus. Van konkáv és konvex változata is. A rombusz és a négyzet is deltoidok.

K = ( a + b )*2            T = e*f /2

1.B

Műveletek sorrendje

 TÉTEL LETÖLTÉSE

            Műveleti sorok eredményének kiszámolásakor figyelemmel kell lennünk a kijelölt műveletek helyes sorrendben történő elvégzésére. A szorzás az osztással, az összeadás a kivonással egyenrangú művelet. Amennyiben a műveleti sorban zárójel található, úgy először a benne szereplő műveletet vagy műveleteket kell elvégezni, és csak ezután a zárójelen kívüli műveleteket. Ha a műveleti sorban nincs zárójel, vagy a zárójelben több különféle művelet található, akkor az elvégzés sorrendje a következő:

 

Az egyenrangú műveleteket balról jobbra haladva végezzük el.

2.B

Pitagorasz tétele és bizonyítása

 TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Tétel: Bármely derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

Szövegdoboz: a
Szövegdoboz: b
Szövegdoboz: a2 + b2 = c2
Szövegdoboz: c

 

 

  

 
 

Bizonyítás:

Szövegdoboz: c
Szövegdoboz: c

  

 

 

 

 

 

 

 

Adott két egybevágó négyzet, mindkettőnek a + b hosszúságúak az oldalai. Ebből az is következik, hogy a két négyzet területe egyenlő. Írjuk fel a két négyzet területét az ábrákon látható felosztás szerinti összegként!

                                                               T1 = T2

                                               a2 + 2ab + b2 = c2 + 4*ab/2
                                               a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab                  / - 2ab

                                                         a2 + b2 = c2

És ezt akartuk bizonyítani!

3.B

Thalész tétele és bizonyítása

 TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Tétel: Közös átfogójú derékszögű háromszögek derékszögű csúcsainak halmaza az a körvonal, amelynek átmérője a háromszögek átfogója. A tételből két dolog következik:

  1. ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk;
  2. a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja.

  

 

 

 

 

 

 

 

Bizonyítás:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.B

A háromszög beírt köre

 TÉTEL LETÖLTÉSE

A háromszög beírt körének nevezzük azt a körvonalat, amelynek a háromszög mindhárom oldala érintője. Érvényes rá a következő tétel:

Bármely háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög beírt körének középpontja.

A beírt kör középpontja egyenlő távolságra kell, hogy legyen az oldalaktól. A tétel bizonyításához felhasználjuk azt a segédtételt, miszerint két metsző egyenestől egyenlő távolságra levő ponthalmaz nem más, mint a két egyenes által közrefogott szögek szögfelezője.

 

 

 

 

 

 

 

 

Bizonyítás:

 

(1)      Az α szög szögfelezőjének minden pontja egyenlő távolságra van a „b” és a „c” oldaltól.

(2)      A β szög szögfelezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az „a” és a „c” oldaltól.

(3)      Metszéspontjukat jelöljük „O”-val; az „O” pont egyenlő távolságra van mindhárom oldaltól, mert rajta van mindkét szögfelezőn.

(4)      Akkor a γ szög felezője illeszkedik az „O” pontra, mert minden pontja egyenlő távolságra van az „a” és a „b” oldaltól.

5.B

A háromszög körülírt köre

 TÉTEL LETÖLTÉSE

 

A háromszög körülírt körének nevezzük azt a körvonalat, amely illeszkedik a háromszög mindhárom csúcsára. Érvényes rá a következő tétel:

Bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög körülírt körének középpontja. A tétel bizonyításához felhasználjuk azt a segédtételt, miszerint a síkon két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok halmaza nem más,mint a két pontot összekötő szakasz felezőmerőlegese.

  

 

 

 

 

 

 

 

Bizonyítás:

 

(1)      A „c” oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van az „A” és a „B” csúcstól.

(2)      A „b” oldal felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van az „A” és a „C” csúcstól

(3)      Metszéspontjukat jelöljük „O”-val; az „O” pont egyenlő távolságra van mindhárom csúcstól, mert illeszkedik mindkét oldalfelező merőlegesre.

(4)      Akkor az „a” oldal felezőmerőlegese illeszkedik az „O” pontra, mert minden pontja egyenlő távolságra van a „B” és a „C” csúcstól.

 

A háromszög körülírt körének középpontja hegyesszögű háromszög esetén a háromszögön belül, tompaszögű háromszög esetén a háromszögön kívül található. A derékszögű háromszögek körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja.

6.B

A háromszög magasságpontja

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

A háromszög magasságának nevezzük a háromszög csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges szakaszt. Minden háromszögnek tehát három magassága van. a hegyesszögű háromszögek mindhárom magassága a háromszögön belül helyezkedik el. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága a háromszögön belül van, a másik két magasság nem más, mint a háromszög két befogója. A tompaszögű háromszögnek egy magassága a háromszögön belül, a másik két magassága a háromszögön kívül helyezkedik el.

 

 

  

 

 

 

A háromszög magassága fordítottan arányos a rá merőleges oldallal. A háromszög magasságaira érvényes a következő tétel: Bármely háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja.

  

 

 

 

 

 

 

 

 

Bizonyítás:

 

(1)      Az ABC▲-et tükrözzük középpontosan mindhárom oldal felezőpontjára! A kapott A’B’C’▲-nek középvonalai az ABC▲ oldalai.

(2)      Mivel az ABC▲ oldalai párhuzamosak az A’B’C’▲ oldalaival, ezért az ABC▲ magasságai az A’B’C’▲-nek oldalfelező merőlegesei.

(3)      A ▲-ek oldalfalező merőlegesei egy pontban metszik egymást.(Bizonyított tétel)

(4)      Tehát az ABC▲ magasságai egy pontban metszik egymást.

 

7.B

Háromszögek fajtái; A háromszög súlyvonalai és középvonalai

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

A háromszögeket oldalaik és szögeik alapján osztályozzuk. Általánosnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek mindhárom oldala különböző nagyságú. Egyenlő szárúnak nevezzük azt a háromszöget, amelynek van két egyenlő hosszúságú oldala. A szabályos háromszögnek mindhárom oldala egyenlő hosszú, ezért nevezzük egyenlő oldalú háromszögnek is. Hegyesszögűnek nevezzük azt a háromszöget, amelynek csak hegyesszögei vannak. Derékszögűnek nevezzük azt a háromszöget, amelynek van derékszöge. Tompaszögűnek nevezzük azt a háromszöget, amelynek van tompaszöge. Ilyen módon a következő háromszögeket különböztetjük meg:

-         általános hegyesszögű

-         általános derékszögű

-         általános tompaszögű

-         egyenlő szárú hegyesszögű

-         egyenlő szárú derékszögű

-         egyenlő szárú tompaszögű

-         szabályos

háromszög.

 

A háromszög súlyvonalának nevezzük azt a szakaszt, amely a háromszög csúcsát a szemközti oldal felepontjával köti össze. Tehát a háromszögnek három súlyvonala van. a súlyvonalakra érvényesek a következő tételek:

Tétel(1): Bármely háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja.

 

 

 

 

 

 

 

Tétel(2): a háromszög súlyvonalai harmadolják egymást: kétharmadrész esik a csúcs felé és egyharmadrész esik az oldal felé.

 

A háromszög középvonala a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. A háromszögeknek tehát három középvonaluk van. A háromszög középvonalaira érvényes a következő tétel: Bármely háromszög két oldalfelezési pontját összekötő középvonala párhuzamos a harmadik oldallal és fele olyan hosszú.

 

 

8.B

Összefüggések a háromszög oldalai, szögei valamint oldalai és szögei között

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

  1. Bármely háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. (Háromszög-egyenlőtlenség)


     
  2. Bármely háromszög belső szögeinek összege 1800.










     
  3. Bármely háromszög külső szögeinek összege 3600.

    α + α’ = 1800
    β + β’ = 1800         α + α’ +  β + β’ + γ + γ’ = 5400                                          
    γ + γ’ = 1800          α + β + γ + α’ + β’ + γ’ = 5400
                                   1800 + α’ + β’ + γ’        = 5400          / -1800
                                               α’ + β’ + γ’        = 3600    

     
  4. Bármely háromszög egyik külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

    α + α’ = 1800
    α + β + γ = 1800


     
  5. Bármely háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő nagyságú belső szögek vannak. A két oldal egymásnak tengelyes tükörképe az általuk bezárt szög felezőjére nézve. Ugyanígy tükörképe egymásnak a két szög, tehát egyenlők.

     
  6. Szövegdoboz: Egészítsük ki a háromszöget egyenlő szárúvá!

α + ε = φ  Þ  α = φ – ε

Mivel β külső szöge az ADB háromszögnek, így

β = φ + ε > φ – ε = α   Þ   β > α
 
Bármely háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szög nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szög.






     

 

 

 

 

9.B

Tengelyes tükrözés

TÉTEL LETÖLTÉSE

Transzformáció: átalakítás, átrendezés, áthelyezés

Geometriai transzformáció: olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, amely ponthoz pontot, ponthalmazhoz ponthalmazt rendel. Szokás pont-pont függvénynek is nevezni.

Egybevágósági transzformáció: olyan geometriai transzformáció, amely egy ponthalmazhoz vele egybevágó ponthalmazt rendel.

Két ponthalmaz egybevágó, ha síkbeli vagy térbeli mozgatással egymással fedésbe hozhatók.

Két ponthalmaz egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely egyik alakzat pontjait a másik alakzat pontjaiba viszi át.

 

Az egybevágósági transzformációt tengelyes tükrözésnek nevezzük, ha adott t tengely esetén bármely P pontnak az a P’ pont a képe, melyre igaz, hogy a tengely a PP’ szakasznak felezőmerőlegese.

 

Tulajdonságai:

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok:

Alakzat neve

Szimmetriatengelyek száma

Egyenlő szárú háromszög

1

Szabályos háromszög

3

Húrtrapéz, deltoid

1

Téglalap, rombusz

2

Négyzet

4

n-oldalú szabályos sokszög

n

Ellipszis

2

Kör

Végtelen sok

 

10.B

Középpontos tükrözés

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Transzformáció: átalakítás, átrendezés, áthelyezés

Geometriai transzformáció: olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, amely ponthoz pontot, ponthalmazhoz ponthalmazt rendel. Szokás pont-pont függvénynek is nevezni.

Egybevágósági transzformáció: olyan geometriai transzformáció, amely egy ponthalmazhoz vele egybevágó ponthalmazt rendel.

Két ponthalmaz egybevágó, ha síkbeli vagy térbeli mozgatással egymással fedésbe hozhatók.

Két ponthalmaz egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely egyik alakzat pontjait a másik alakzat pontjaiba viszi át.

Az egybevágósági transzformációt középpontos tükrözésnek nevezzük, ha adott O pont esetén bármely P pontnak az a P’ pont a képe, melyre igaz, hogy az O pont a PP’ szakasz felezőpontja.

Tulajdonságai:

Középpontosan szimmetrikus alakzatok:

Középpontosan szimmetrikus háromszög nincs!

Paralelogramma, téglalap,rombusz, négyzet, páros oldalszámú szabályos sokszögek, ellipszis, kör.

11.B

Pont körüli elforgatás

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Transzformáció: átalakítás, átrendezés, áthelyezés

Geometriai transzformáció: olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, amely ponthoz pontot, ponthalmazhoz ponthalmazt rendel. Szokás pont-pont függvénynek is nevezni.

Egybevágósági transzformáció: olyan geometriai transzformáció, amely egy ponthalmazhoz vele egybevágó ponthalmazt rendel.

Két ponthalmaz egybevágó, ha síkbeli vagy térbeli mozgatással egymással fedésbe hozhatók.

Két ponthalmaz egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely egyik alakzat pontjait a másik alakzat pontjaiba viszi át.

 

Az egybevágósági transzformációt pont körüli elforgatásnak nevezzük, ha adott O pont és φ szög esetén bármely P pontnak az a P’ pont a képe, melyre igaz, hogy OP = OP’          

 

 

Tulajdonságai:

Forgásszimmetrikus alakzatok:

Alakzat

Elforgatás szöge

n-oldalú szabályos sokszög

3600/n

paralelogramma, rombusz, téglalap, ellipszis

1800

négyzet

900

kör

tetszőleges szög

 

 

 

12.B

Eltolás

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Transzformáció: átalakítás, átrendezés, áthelyezés

Geometriai transzformáció: olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, amely ponthoz pontot, ponthalmazhoz ponthalmazt rendel. Szokás pont-pont függvénynek is nevezni.

Egybevágósági transzformáció: olyan geometriai transzformáció, amely egy ponthalmazhoz vele egybevágó ponthalmazt rendel.

Két ponthalmaz egybevágó, ha síkbeli vagy térbeli mozgatással egymással fedésbe hozhatók.

Két ponthalmaz egybevágó, ha létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely egyik alakzat pontjait a másik alakzat pontjaiba viszi át.

Az egybevágósági transzformációt eltolásnak nevezzük, ha adott v vektor esetén bármely P pontnak az a P’ pont a képe, melyre igaz, hogy a PP’ vektor egyenlő v vektorral.

Tulajdonságai:

 

 

Műveletek vektorokkal

 

Összeadás

Szövegdoboz: Kivonás

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.B

Középpontos hasonlóság

TÉTEL LETÖLTÉSE

 

Transzformáció: átalakítás, átrendezés, áthelyezés

Geometriai transzformáció: olyan kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, amely ponthoz pontot, ponthalmazhoz ponthalmazt rendel. Szokás pont-pont függvénynek is nevezni.

Két alakzat hasonló, ha megfelelő szakaszaik aránya állandó. A megfelelő szögek egyenlősége csak háromszögek esetén elegendő feltétele a hasonlóságnak.

 

A geometriai transzformációt középpontos hasonlóságnak nevezzük, ha adott O pont és k valós szám (k ≠ 0) esetén bármely P pontnak az a P’ pont a képe, melyre igaz, hogy P’ pont illeszkedik az OP egyenesre ( k > 0 esetén P és P’ az O azonos oldalán, k < 0 esetén P és P’ az O pont ellentétes oldalain ) és OP’ = k*OP.

 

Tulajdonságai:

 

Ha k > 0, akkor az eredetivel egyező állású képet kapunk, k < 0 esetén az eredetihez kélpest fordított állású kép keletkezik. Ha │k│> 0, akkor nagyítunk, ha │k│< 0, akkor kicsinyítünk.
│k│ = 1 esetén a középpontos hasonlóság egybevágóság.

 

14.B

Szabályos sokszögek, átlók száma, belső szögei; Szabályos testek

 

TÉTEL LETÖLTÉSE 

Azokat a sokszögeket, amelyeknek minden oldala egyenlő hosszúságú és minden belső szögük egyenlő nagyságú, szabályos sokszögeknek nevezzük. Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus. Szimmetriatengelyeik száma megegyezik a csúcsok számával. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan is szimmetrikusak. A szabályos sokszögek három jellemző adatát ki tudjuk számolni a csúcsok számának ismeretében.

 

Belső szögeik összege:       ( n – 2 )*1800

 

 

1 belső szögük nagysága:  

 

 

Átlóik száma:                     

 

Szabályos testeknek nevezzük azokat a testeket, amelyeket egybevágó szabályos sokszöglapok határolnak és bármely két szomszédos lap által bezárt belső szög megegyezik. Ötféle szabályos test létezik: tetraéder, kocka (hexaéder), oktaéder, dodekaéder és ikozaéder.

 

15.B

Sorozatok

TÉTEL LETÖLTÉSE 

Rendezzük a pozitív egész számokat növekvő sorba és mindegyikhez rendeljünk hozzá egy valós számot. Így számsorozathoz jutottunk. A pozitív egész számok halmazán értelmezett függvényt tehát sorozatnak nevezzük. Az 1-hez rendelt valós számot a sorozat első elemének nevezzük és a1-gyel jelöljük. A sorozat n-edik, azaz általános elemét an-nel jelöljük.

            Egy számsorozatot számtani sorozatnak nevezünk, ha az első kivételével bármelyik eleméből az előtte álló elemet kivonva ugyanazt a számot kapjuk: an – an-1 = állandó. A számtani sorozat tehát vagy ugyanannyival növekvő vagy csökkenő számsorozat. A szomszédos elemek különbségét d-vel jelöljük (differencia).

A sorozat általános (n-edik) elemének kiszámítása:

                                                               an = a1 + (n-1)*d

A sorozat első n elemének összegét így számíthatjuk ki:

  

 

Egy számtani sorozatban bármely elem a két szomszédjának számtani közepe:

                                                     

 

            Egy számsorozatot mértani sorozatnak nevezünk, ha bármely elemének és az őt megelőző elemnek a hányadosa állandó. A mértani sorozat szomszédos elemeinek hányadosát q-val jelöljük (quotiens).

A mértani sorozat általános (n-edik) elemének kiszámítása:

                                                            an = a1*qn-1

A sorozat első n elemének összegét így számíthatjuk ki: